Thalès, Pythagore, trigonométrie — les 3 théorèmes du brevet expliqués

Ces trois théorèmes apparaissent dans presque tous les sujets de brevet. Si tu les maîtrises vraiment, tu gagnes facilement 20 à 30 points sur l'épreuve de géométrie.

1. Le théorème de Pythagore

Ce que ça dit

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

$c^2 = a^2 + b^2$

où c est l'hypoténuse (le côté en face de l'angle droit).

Comment l'utiliser

Calculer l'hypoténuse :

• Triangle rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = 4 cm
• BC² = AB² + AC² = 9 + 16 = 25
• BC = 5 cm

Calculer un côté de l'angle droit :

• Hypoténuse BC = 13 cm, côté AB = 5 cm
• AC² = BC² − AB² = 169 − 25 = 144
• AC = 12 cm

La réciproque (piège fréquent au brevet)

Si c² = a² + b², alors le triangle est rectangle.

Un triangle a des côtés 8, 15 et 17. Est-il rectangle ? 17² = 289 et 8² + 15² = 64 + 225 = 289 ✅ → Il est rectangle.

Erreurs à éviter

• Appliquer Pythagore sur un triangle qui n'est pas rectangle
• Oublier de prendre la racine carrée à la fin

2. Le théorème de Thalès

Ce que ça dit

Si deux droites parallèles coupent deux sécantes, elles découpent des segments proportionnels.

Comment l'utiliser

Dans un triangle ABC, si D est sur AB et E est sur AC avec DE ∥ BC :

rac{AD}{AB} = rac{AE}{AC} = rac{DE}{BC}

Exemple :

• AD = 3, DB = 2, DE = 4,5 et on cherche BC
• AB = AD + DB = 5
• AD/AB = DE/BC → 3/5 = 4,5/BC → BC = 7,5 cm

Reconnaître quand utiliser Thalès

Thalès s'utilise quand :

• Il y a deux droites parallèles mentionnées dans l'énoncé
• On cherche une longueur inconnue dans une figure avec des triangles emboîtés

Erreurs à éviter

• Oublier de vérifier que les droites sont bien parallèles
• Mélanger les rapports (AD/DB ≠ AD/AB)

3. La trigonométrie

Ce que ça dit

Dans un triangle rectangle, les rapports entre les côtés et les angles sont constants.

Pour un angle aigu α dans un triangle rectangle :

cos(α) = rac{ ext{côté adjacent}}{ ext{hypoténuse}}

sin(α) = rac{ ext{côté opposé}}{ ext{hypoténuse}}

an(α) = rac{ ext{côté opposé}}{ ext{côté adjacent}}

Le moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA

• Sin = Opposé / Hypoténuse
• Cos = Adjacent / Hypoténuse
• Tan = Opposé / Adjacent

Exemple

Triangle rectangle en A, hypoténuse BC = 10 cm, angle en B = 35°.

Cherche AB (côté adjacent à B) : cos(35°) = rac{AB}{BC} → AB = 10 × cos(35°) ≈ 10 × 0{,}819 ≈ 8{,}19 ext{ cm}

Erreurs à éviter

• Confondre côté adjacent et côté opposé selon l'angle choisi
• Utiliser sin au lieu de cos (ou inversement)
• Oublier de mettre la calculatrice en mode degrés

Comment les reconnaître dans un sujet de brevet

Entraîne-toi sur ces notions

EleveAI propose des exercices sur Pythagore, Thalès et la trigonométrie dans le Coach Brevet et le Coach Maths IA.

👉 Coach Brevet — Sprint 30 jours 👉 Coach Maths IA — Géométrie 3e